Второй закон Ньютона в импульсной форме. Основное уравнение динамики. Импульс тела: Приращение импульса тела равно импульсу действовавшей на него силы.

Импульс системы частиц и - внутренние силы Система частиц Импульс системы частиц может изменяться под действием только внешних сил

Центр масс системы частиц. Закон движения центра масс. 1). Радиус-вектор центра масс: 2). Скорость центра масс: 3). Закон движения центра масс системы частиц:

Закон сохранения импульса Импульс замкнутой системы частиц не изменяется с течением времени 1). В классической механике закон сохранения импульса является следствием из законов Ньютона: В замкнутой системе частиц 2). Закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса можно применять 1). Если система частиц замкнута 2). Если 3). Если, то 4). Если кратковременные силы взаимодействия в системе во много раз превосходят по величине внешние силы

Реактивное движение Скорость системы отсчёта равна скорости ракеты в момент времени t=0: - масса ракеты - скорость газа относительно ракеты

Сила является мерой взаимодействия (взаимного действия). Если действие велико (мало), то говорят о большой (малой) силе. Сила обозначается буквой $$ F$$ (первая буква слова force).

Пр и взаимодействии чем больше сила, тем больше ускорение тела, на которое эта сила действует. Следовательно, ускорение прямо пропорционально действующей силе: a ∼ F a\sim F .

Но уже говорилось о том, что ускорение зависит от массы тела: a ∼ 1 m a \sim \frac 1m

Обощая эти зависимости получим:

Теперь рассмотрим свойства силы, устанавливаемые опытным путём:

1) Результат действия (проявления) силы зависит от направления действующей силы, следовательно, сила - величина векторная.

2) Результат действия (проявления) силы зависит от величины приложенной силы .

3) Результат действия (проявления) силы зависит от точки приложения силы.

4) За единицу силы принято значение такой силы, которая вызывает ускорение 1 м / с 2 1\ \mathrm{м}/\mathrm{с}^2 у тела массой 1 кг 1\ \mathrm{кг} . Единицу силы назвали в честь Ис а ака Ньютона 1 н ью" тон. (Произносить фамилию счи тается правильным таким образом, как произносится фамилия в том государстве, где пр о живал или проживает учёный . )

[ F → ] = 1 Н = 1 кг · м с 2 (н ь ю т о н) . [\overset{\rightarrow}{F}] = 1\ \mathrm{Н} = 1\ \mathrm{кг}\cdot\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}\quad \mathrm{(ньютон)}.

5) Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая сила действует независимо от других. (Принцип суперпозиции сил). Тогда все силы необходимо сложить векторно и получить результирующую силу (рис. 4) .

Из приведённых свойств силы следует, как обобщение опытных фактов, второй закон Ньютона:

Второй закон Ньютона : Сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой суммой сил:

∑ F → = m a → . \boxed{\sum \vec{F} = m\vec{a}}.

Данное выражение можно представить и в другой форме: так как a → = v → к - v → 0 t \vec a = \frac{\vec v_\mathrm{к} - \vec v_0}{t} , то второй закон Ньютона примет вид: ∑ F → = m v → к - v → 0 t \sum \vec F = m\frac{\vec v_\mathrm{к} - \vec v_0}{t} .

Произведение массы тела и его скорости называют импульсом тела:

p → = m v → \vec p = m\vec v ,

тогда получим новое выражение для второго закона Ньютона:

∑ F → = m v → к - m v → 0 t = p → к - p → 0 t = Δ p → t \boxed{\sum \vec F = \frac{m\vec v_\mathrm{к} - m\vec v_0}{t}} = \frac{\vec p_\mathrm{к} - \vec p_0}{t} = \frac{\Delta \vec p}{t} .

∑ F → = p → к - p → 0 t \boxed{\sum \vec F = \frac{\vec p_\mathrm{к} - \vec p_0}{t}} - - второй закон Ньютона в импульсной форме для среднего значения силы. Здесь p → к - p → 0 = Δ p → \vec p_\mathrm{к} - \vec p_0 = \Delta \vec p - - изменение импульса тела, t - t\ - время изменения импульса тела.

∑ F → = d p → d t - \boxed{\sum \vec F = \frac{d\vec p}{dt}}\ - второй закон Ньютона в импульсной форме для мгновенного значения силы.

Из второго закона в частности следует, что ускорение тела, подвергающегося действию нескольких сил, равно сумме ускорений, сообщаемых каждой силой:

A → = ∑ a → i = a → 1 + a → 2 + … + a → i = ∑ F → m = F → 1 + F → 2 + … + F → i m = F → 1 m + F → 2 m + … + F → i m \boxed{\vec a = \sum \vec a_i = \vec a_1 + \vec a_2 + \dots + \vec a_i = \frac{\sum \vec F}{m} = \frac{\vec F_1 + \vec F_2 + \dots + \vec F_i}{m} = \frac{\vec F_1}{m} + \frac{\vec F_2}{m} + \dots + \frac{\vec F_i}{m}} .

Первая форма записи второго закона (∑ F → = m a →) (\sum \vec F = m\vec a) справедлива только при малых скоростях по сравнению со скоростью света. И, разумеется, выполняется второй закон Ньютона только в инерциальных системах отсчёта . Так же следует отметить, что второй закон Ньютона справедлив для тел неизменной массы , конечных размеров и движущихся поступательно.

Второе (импульсное) выражение имеет более общий характер и справедливо при любых скоростях.

Как правило, в школьном курсе физики сила со временем не меняется. Однако последняя импульсная форма записи позволяет учесть зависимость силы от времени, и тогда изменение импульса тела будет найдено с помощью определённого интеграла на исследуемом интервале времени. В более простых случаях (сила изменяется со временем по линейному закону) можно брать среднее значение силы. 


Рис. 5

Иногда очень полезно знать, что произведение F → · t \vec F \cdot t называют импульсом силы, и его значение F → · t = Δ p → \vec F \cdot t = \Delta \vec p равно изменению импульса тела .

Для постоянной силы на графике зависимости силы от времени можем получить, что площадь фигуры под графиком равна изменению импульса (рис. 5) .

Но даже если сила будет изменяться со временем, то и в этом случае, разбивая время на малые интервалы Δ t \Delta t такие, что величина силы на этом интервале остаётся неизменной (рис. 6), а потом , суммируя полученные «столбики», получим:

Площадь фигуры под графиком F (t) F(t) численно равна изменению импульса.

В наблюдаемых природных явлениях сила, как правило, меняется со временем. Мы же часто, применяя простые модели процессов, считаем силы постоянными. Сама же возможность использования простых моделей появляется из возможности подсчёта средней силы, т . е. такой постоянной силы, у которой площадь под графиком от времени будет равна площади под графиком реальной силы.

Рис. 6

Следует добавить ещё одно очень важное следствие второго закона Ньютона, связанное с равенством инертной и гравитационной масс.









Неразличимость гравитационной и инертной масс означает, что и ускорения, вызванные гравитационным взаимодействием (законом всемирного тяготения) и любым другим тоже неразличимы.

Пример 2. Мяч массой 0,5 кг 0,5\ \mathrm{кг} после удара, длящегося 0,02 с 0,02\ \mathrm{с} , приобретает скорость 10 м / с 10\ \mathrm{м}/\mathrm{с} . Найти среднюю силу удара.

Решение. В данном случае рациональнее выбрать второй закон Ньютона в импульсной форме, т. к. известны начальная и конечная скорости, а не ускорение, и известно время действия силы. Также следует отметить, что сила, действующая на мяч, не остаётся постоянной. По какому закону меняется сила со временем , не известно. Для простоты мы будем пользоваться предположением, что сила постоянная, и её мы будем называть средней.

Тогда ∑ F → = Δ p → t \sum \vec F = \frac{\Delta \vec p}{t} , т. е. F → ср · t = Δ p → \vec F_\mathrm{ср}\cdot t = \Delta \vec p . В проекции на ось, направленной вдоль линии действия силы, получим: F ср · t = p к - p 0 = m v к F_\mathrm{ср}\cdot t = p_\mathrm{к}-p_0 = mv_\mathrm{к} . Окончательно для искомой силы получим:

Количественно ответ будет таким: F ср = 0,5 кг · 10 м с 0,02 с = 250 Н F_\mathrm{ср} = \frac{0,5\ \mathrm{кг}\cdot 10\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}}{0,02\ \mathrm{с}} = 250\ \mathrm{Н} .

2-й закон Ньютона: Ускорение, которое приобретает тело прямо пропорционально результирующей всех сил, действующих на тело и обратно пропорционально массе.

,

Силой называется векторная физическая величина, которая характеризует действие одного тела на другое.

§2.3 Импульсная форма 2-го закона Ньютона.

– 2-й закон Ньютона - общая формулировка

Действие силы в течении tприводит к изменению импульса тела. ЕслиF-const
FΔt=ΔP

2.4 3-й закон Ньютона (Закон взаимодействия тел).

3-й закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и по модулю, но противоположными по направлению

Силы прилаженные к разным телам и никогда не могут компенсировать друг друга

Глава 3. Законы сохранения

Законы сохранения – носят всеобщий характер, они справедливы для всех видов движения (Механического, теплового, биологического). Закон сохранения импульса и энергии могут быть строго получены из таких свойств материи, как однородность пространства и однородность времени. Однородность пространства означает, что законы физики справедливы в любой точке пространства. Однородность времени означает, что законы физики с течением времени не изменяются. Совокупность тел, движение которых рассматривается совместно и одновременно называется системой тел. При этом силы, с которыми взаимодействуют тела, принадлежат данной системе, называются внутренние силы. Силы, которые создаются телами, не принадлежащими данной системе – внешние силы. Массой системы называют сумму масс всех тел системы.

Суммарный импульс – сумма импульсов тел системы.

§3.1 Закон сохранения импульса.

Пусть система состоит из 2-х тел. Согласно 3-у закону Ньютона

F 1 = -F 2 – равны и противоположны по направлению. Согласно 1-у закону Ньютона действие силы приводит к изменению импульса.

P 1+ P 2 = P 1 `+ P 2 ` = const.

Движение системы тел может быть охарактеризовано понятием центром масс.

Центром масс любой системы тел называется вектор, который определяются соотношением:

,

Скорость движения центра масс:

Центр массы системы тел, движущихся, как материальная точка в которой сосредоточена вся масса системы.

Особенности:

1) F ВНЕШН. =0, тоdP=0P=const

2)Если dt0, то действие внешних сил очень малоdP=0, P=const

3) F x =0, dP x =0, P x =const;

§3.2 Механическая работа и мощность.

Механическая работа – выражение, определяемое соотношением:

A=FScos=FS

Формула может быть использована только тогда, когда F-const,aперемещение прямолинейно. Если перемещение не прямолинейно, аF-неconst, то траекторию разбивают и считают что наSперемещение прямолинейно, аF-const

Примеры работы сил:

1) Работа сил упругости

2) Работа сил тяжести

dA=mgdh=mgdrcos=mgdh,

Работа сил тяжести не зависит от траектории, а определяется уровнем над поверхностью земли. Силы, работа которых не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положением наз. консервативные силами (Сила тяжести, Гравитационная, Электростатическая,). Если F=const,
-мощность.

Темы кодификатора ЕГЭ: импульс тела, импульс системы тел, закон сохранения импульса.

Импульс тела - это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса - это просто произведение размерности массы на размерность скорости:

Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно придать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Пусть - равнодействующая сил, приложенных к телу массы . Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:

С учётом того, что ускорение тела равно производной вектора скорости, второй закон Ньютона переписывается следующим образом:

Вносим константу под знак производной:

Как видим, в левой части получилась производная импульса:

. ( 1 )

Соотношение ( 1 ) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.

Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодействующая приложенных к телу сил.

Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела.

Производную в формуле ( 1 ) можно заменить на отношение конечных приращений:

. ( 2 )

В этом случае есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени . Чем меньше величина , тем ближе отношение к производной , и тем ближе средняя сила к своему мгновенному значению в данный момент времени.

В задачах, как правило, интервал времени достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда - средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.

Вектор в левой части соотношения ( 2 ) называется изменением импульса за время . Изменение импульса - это разность конечного и начального векторов импульса. А именно, если - импульс тела в некоторый начальный момент времени, - импульс тела спустя промежуток времени , то изменение импульса есть разность:

Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса - это разность векторов (рис. 1 ):

Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен ) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен ). Несмотря на то, что импульс по модулю не изменился (), изменение импульса имеется:

Геометрически эта ситуация показана на рис. 2 :

Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: .

Перепишем формулу ( 2 ) следующим образом:

, ( 3 )

или, расписывая изменение импульса, как и выше:

Величина называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:

(Обратите внимание, что оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)

Словесная формулировка равенства ( 3 ) такова: изменение импульса тела равно импульсу действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.

Пример вычисления силы

В качестве примера применения второго закона Ньютона в импульсной форме давайте рассмотрим следующую задачу.

Задача. Шарик массы г, летящий горизонтально со скоростью м/с, ударяется о гладкую вертикальную стену и отскакивает от неё без потери скорости. Угол падения шарика (то есть угол между направлением движения шарика и перпендикуляром к стене) равен . Удар длится с. Найти среднюю силу,
действующую на шарик во время удара.

Решение. Покажем прежде всего, что угол отражения равен углу падения, то есть шарик отскочит от стены под тем же углом (рис. 3 ).

Согласно ( 3 ) имеем: . Отсюда следует, что вектор изменения импульса сонаправлен с вектором , то есть направлен перпендикулярно стене в сторону отскока шарика (рис. 5 ).

Рис. 5. К задаче

Векторы и
равны по модулю
(так как скорость шарика не изменилась). Поэтому треугольник, составленный из векторов , и , является равнобедренным. Значит, угол между векторами и равен , то есть угол отражения действительно равен углу падения.

Теперь заметим вдобавок, что в нашем равнобедренном треугольнике есть угол (это угол падения); стало быть, данный треугольник - равносторонний. Отсюда:

И тогда искомая средняя сила, действующая на шарик:

Импульс системы тел

Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами и соответственно. Импульс системы данных тел - это векторная сумма импульсов каждого тела:

Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона в виде ( 1 ). Давайте выведем эту формулу.

Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть - результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично - результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 6 ).

Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой . Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой . По третьему закону Ньютона силы и равны по модулю и противоположны по направлению: . Силы и - это внутренние силы, действующие в системе.

Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме ( 1 ):

, ( 4 )

. ( 5 )

Сложим равенства ( 4 ) и ( 5 ):

В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов и . В правой части имеем в силу третьего закона Ньютона:

Но - это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также - это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:

. ( 6 )

Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство ( 6 ), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.

Формула ( 6 ) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.

Импульсом системы тел тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из тел, то импульс этой системы равен:

Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные ( 4 ) и ( 5 ), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство ( 6 ) останется справедливым и в общем случае.

Закон сохранения импульса

Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой системы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.

Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю: . В этом случае из ( 6 ) получаем:

Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю), то сам вектор не меняется со временем:

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.

Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.

Задача. Тело массы г движется со скоростью м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы г со скоростью м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение. Ситуация изображена на рис. 7 . Ось направим в сторону движения первого тела.

Рис. 7. К задаче

Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:

Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел, равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется закон сохранения импульса:

. ( 7 )

Импульс системы до удара - это сумма импульсов тел:

После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью :

Из закона сохранения импульса ( 7 ) имеем:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

Переходим к проекциям на ось :

По условию имеем: м/с, м/с, так что

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси . Искомая скорость: м/с.

Закон сохранения проекции импульса

Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось , сумма проекций внешних сил на ось равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось сохраняется.

Покажем это более строго. Спроектируем равенство ( 6 ) на ось :

Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, , то

Следовательно, проекция есть константа:

Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция импульса системы не меняется с течением времени.

Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.

Задача. Мальчик массы , стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы со скоростью под углом к горизонту. Найти скорость , с которой мальчик откатывается назад после броска.

Решение. Ситуация схематически показана на рис. 8 . Мальчик изображён прямогольником.

Рис. 8. К задаче

Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.

Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил не равна нулю во время броска. Величина больше, чем сумма , и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.

Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось . До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим.